2学期に入り、中学3年生の数学では「関数 y=ax²」、いわゆる二次関数の単元に入る学校が多くなります。1・2年生で学んだ比例（y=ax）や一次関数（y=ax+b）は、xが1増えるとyも一定の割合で変化する「直線」のグラフでしたが、y=ax²はxの値によってyの増え方が変わる「放物線」のグラフです。この「一定ではない変化」という感覚をつかめないまま公式だけを暗記してしまうと、変域の問題や変化の割合の問題で点数が伸び悩みます。受験学年である中3の2学期は、入試演習にもつながる重要な単元なので、早いうちに自宅で仕組みから理解しておくことが大切です。
なぜ二次関数でつまずく生徒が多いのか
二次関数のつまずきは、大きく分けて「グラフの形をイメージできない」「変域の求め方を間違える」「変化の割合を一次関数と同じ感覚で計算してしまう」の3つに集約されます。一次関数まではグラフが直線だったため、変化の割合（xの増加量に対するyの増加量の割合）はどの区間でも常に一定でした。ところがy=ax²のグラフは放物線であり、区間によって変化の割合が変わります。この「一定ではない」という性質を頭で理解しないまま公式を丸暗記すると、少し問題の形が変わっただけで解けなくなってしまいます。
押さえるべきポイント
- y=ax²のグラフは原点を通る放物線で、y軸について左右対称になる
- aが正の数のときは下に開いた形、aが負の数のときは上に開いた形になる
- aの絶対値が大きいほどグラフの開き方は狭く（急に）なる
- xの変域に0が含まれるかどうかで、yの最大値・最小値の求め方が変わる（0が含まれる場合はyの最小値または最大値が0になる）
- 変化の割合は「(yの増加量)÷(xの増加量)」で求め、区間によって値が変わることを常に意識する
- 変化の割合はa×(x1+x2)という式でも求められる（x1・x2はxの変域の両端の値）
自宅学習の進め方・チェックリスト
二次関数は「グラフを正確にイメージできるか」が理解の土台になります。以下の順番で進めると、グラフ・変域・変化の割合のつながりが整理しやすくなります。
| ステップ | やること | 目安時間 |
|---|---|---|
| 1. グラフをかく練習 | y=x², y=2x², y=-x²など、aの値を変えたグラフを方眼ノートに実際に手でかいて形の違いを比べる | 15分 |
| 2. 表からグラフの理解 | xに-2〜2の整数を代入してyの値を求め、対応表を作ってから点をつなぐ練習をする | 15分 |
| 3. 変域の練習 | xの変域に0を含む問題・含まない問題をそれぞれ3問ずつ解き、yの最大値・最小値の求め方の違いを確認する | 15分 |
| 4. 変化の割合の練習 | 同じ関数でxの区間を変えた変化の割合の問題を数問解き、区間によって答えが変わることを確認する | 15分 |
| 5. 一次関数との比較整理 | y=ax+bとy=ax²の違い（グラフの形・変化の割合が一定かどうか）をノートに表でまとめる | 10分 |
グラフを自分の手でかく作業は面倒に感じても、放物線の形を体で覚える上で欠かせません。富士見市・ふじみ野市・志木市・川越市・所沢市などのエリアでは、放課後に図書館の学習スペースを利用できる場所もあるので、方眼ノートを広げてじっくりグラフをかく時間を確保するのも一つの方法です。
陥りやすい失敗パターンとリカバリー方法
| 失敗パターン | リカバリー方法 |
|---|---|
| 変化の割合を一次関数と同じ「a」で答えてしまう | y=ax²の変化の割合は区間ごとに変わることをノートの目立つ場所に書き、問題を解くたびに区間を確認する習慣をつける |
| xの変域に0が含まれるのに気づかず、両端の値だけでyの最大・最小を求めてしまう | 変域の問題を解くときは必ずグラフを簡単にかき、0をまたぐかどうかを目で確認してから答えを出す |
| aが負の数のとき、グラフの開く向きを逆にかいてしまう | 「aが正なら下向き（U字）、aが負なら上向き（逆U字）」と語呂で整理し、グラフをかく前に必ず声に出して確認する |
| 表の値を求める際に、xの符号をそのまま2乗せず符号を落としてしまう | 負の数を2乗するときは必ずかっこをつけて計算する練習を繰り返し、途中式を省略しない |
編集部からのメッセージ
二次関数は、中学数学の中でも「変化の割合が一定ではない」という新しい発想に初めて出会う単元です。ここでの理解があいまいなままだと、この後に続く相似・円・三平方の定理など、他の単元にも影響しかねません。2学期が始まったばかりの今、公式を丸暗記するだけでなく、グラフを自分の手でかきながら「なぜこの形になるのか」を確認する時間を少しずつ積み重ねてみてください。
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