投稿者: hirokikawakami0812@gmail.com

高校1年の数学（数学I）では、2学期に入ると「図形と計量」の単元で三角比（サイン・コサイン・タンジェント）を学び始めます。中学までの三平方の定理や相似の知識を土台に、直角三角形の辺の比を角度と結びつけて考える新しい概念が登場し、さらに正弦定理・余弦定理へと発展して、鋭角だけでなく鈍角を含む一般の三角形の辺や角度、面積までも求められるようになります。川越市・所沢市・富士見市・ふじみ野市など東武東上線沿線の高校でも、2学期の中間・期末テストで三角比の単元がほぼ必ず出題されており、ここでの理解が甘いまま2学期後半の「データの分析」や高2以降の三角関数につながっていくため、単元の入口でつまずかないことが重要です。模試（河合塾・進研模試など）でも図形と計量の範囲は頻出であり、定期テスト対策と模試対策の両方を意識した自宅学習が求められます。

なぜ「三角比」でつまずきやすいのか

つまずきの原因は主に3つあります。1つ目は、sin・cos・tanという新しい記号と「どの辺とどの辺の比を表しているか」の対応関係を覚えきれず、公式を丸暗記しようとして混乱してしまう点です。直角三角形における三角比の定義を図とセットで理解しないまま数値だけを覚えると、少し問題の形が変わっただけで対応できなくなります。2つ目は、鋭角（0度から90度）の三角比しか扱わなかった段階から、鈍角を含む一般角の三角比（正弦定理・余弦定理で使うもの）へと拡張される際に、単位円を使った考え方に切り替えられず混乱する点です。3つ目は、正弦定理・余弦定理・面積公式のどれを使えばよいかの判断基準が定まらず、与えられた条件（辺と角の組み合わせ）に対してどの定理を選ぶべきか迷ってしまう点です。公式の数が一気に増える単元のため、使い分けの整理が追いつかないまま演習量だけをこなそうとすると、かえって定着が遅れてしまいます。

「三角比」で押さえるべきポイント

• 直角三角形での三角比の定義：sinθ＝対辺／斜辺、cosθ＝隣辺／斜辺、tanθ＝対辺／隣辺という対応関係を、図を描きながら毎回確認できるようにする
• 30度・45度・60度の三角比の値：代表的な角度の三角比の値は、公式集を見ずに直角二等辺三角形と正三角形の図から自分で導き出せるようにしておく
• 鈍角の三角比（単位円の考え方）：90度を超える角度の三角比は単位円上の座標として定義されることを理解し、鋭角の三角比と混同しないようにする
• 正弦定理の使いどころ：「対辺とその対角」の組み合わせが分かっている、または外接円の半径が絡む問題で使う定理であることを整理する
• 余弦定理の使いどころ：「2辺とその間の角」または「3辺」が分かっている問題で使う定理であることを整理し、辺の長さを求める形と角度を求める形の両方を練習する
• 三角形の面積公式：2辺とその間の角のsinを使って面積を求める公式を、正弦定理・余弦定理と区別して使えるようにする

自宅学習の具体的な手順・チェックリスト

三角比は「定義の理解」を土台にしてから「定理の使い分け」へと進む順番で自宅学習を組み立てると、公式の丸暗記に頼らずに済みます。以下の順番で進めましょう。

ステップ	やること	チェックポイント
1. 直角三角形での定義を図で確認する	sin・cos・tanの定義を、実際に直角三角形を描いて対辺・隣辺・斜辺に印をつけながら確認する	公式を見ずに、図から自分でsinθ・cosθ・tanθを書き出せるか
2. 代表角の三角比を導き出す練習をする	30度・45度・60度の三角比の値を、直角二等辺三角形と正三角形の図から毎回導く練習をする	暗記表に頼らず、図から値を再現できるか
3. 単位円で鈍角の三角比を理解する	単位円上の座標を使って、90度から180度までの三角比がどう定義されるかを確認し、鋭角の場合との違いを整理する	鈍角の三角比の符号（cosがマイナスになる等）を理解できているか
4. 正弦定理・余弦定理の基本問題を解き分ける	与えられた条件（辺と角の組み合わせ）ごとに、正弦定理と余弦定理のどちらを使うべきかを判断してから解く練習をする	定理を選ぶ根拠を自分の言葉で説明できるか
5. 面積公式を含む複合問題に挑戦する	正弦定理・余弦定理・面積公式を組み合わせて解く、やや応用的な問題に取り組む	1問の中で複数の定理を順番に使い分けられているか

陥りやすい失敗パターンとリカバリー方法

失敗パターン	リカバリー方法
sin・cos・tanの対応関係を覚え間違え、対辺と隣辺を逆にしてしまう	問題を解くたびに直角三角形を実際に手で描き、角度の位置から対辺・隣辺・斜辺を確認してから式を立てる、という手順に一度戻る
鈍角の三角比を鋭角と同じ感覚で計算し、符号を間違える	単位円の図を毎回横に置き、角度がどの象限にあるかを確認してから値を求める練習に戻る
正弦定理と余弦定理のどちらを使うべきか判断できず、手が止まる	問題文に出てくる「分かっている辺と角の組み合わせ」を書き出し、条件に応じた定理選びの基準を一覧にして手元に置きながら演習する
代表角（30度・45度・60度）の三角比の値をその場で思い出せない	暗記表を見るのではなく、直角二等辺三角形・正三角形の図を白紙に描いて値を導く練習を毎回のウォーミングアップに組み込む

編集部からのメッセージ

三角比は、公式の数だけを見ると覚えることが多い単元に感じられますが、実際には「直角三角形での定義」「単位円での拡張」「定理の使い分け」という3つの土台を順番に固めれば、応用問題にも落ち着いて対応できるようになります。丸暗記に頼らず、図を描きながら自分の手で値や式を導く習慣をつけることが、2学期後半の単元や高2以降の三角関数にもつながる一番の近道です。定期テストだけでなく模試でも頻出の範囲ですので、この記事のチェックリストを使って、単元の入口でつまずかないうちに基礎を固めていきましょう。

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中学2年の数学では、2学期に入るとまもなく「連立方程式」の単元が始まります。中1で学んだ一元一次方程式に続き、文字が2つ（x と y）になり、2本の式を同時に満たす解を求める学習内容に進化します。加減法・代入法という2つの解き方を使い分けながら、最終的には「速さ」「割合」「個数と代金」といった文章題に応用していく単元です。川越市・富士見市・ふじみ野市・志木市など東武東上線沿線の中学校でも、2学期最初の定期テストで連立方程式の計算問題と文章題がまとめて出題されるケースが多く、ここでのつまずきをそのままにすると、中3で学ぶ二次方程式や関数の文章題にも影響が出やすくなります。北辰テストの数学でも、連立方程式を利用した文章題は頻出であり、埼玉県公立入試（学校選択問題を含む）でも計算力と立式力の両方が問われます。2学期の早い段階で「解き方の型」と「文章題の立式パターン」を自宅学習でしっかり固めておくことが、この先の単元にも直結します。

なぜ「連立方程式」でつまずきやすいのか

つまずきの原因は主に3つあります。1つ目は、加減法と代入法という2つの解き方のどちらを使うべきか判断できず、計算を複雑にしてしまう点です。式の形によって適した解き方が異なりますが、パターンを整理しないまま練習を進めると、毎回遠回りな計算をして時間がかかったりミスを増やしたりします。2つ目は、係数をそろえるために式全体に数をかける際の符号ミスや、代入した式のかっこの展開ミスなど、計算の途中でのケアレスミスが起こりやすい点です。連立方程式は中1の一元一次方程式より計算の手順が長くなるため、1か所のミスが最終的な答えに直結してしまいます。3つ目は、文章題で「何をxとし、何をyとするか」を決められず、立式そのものでつまずく点です。速さ・割合・個数と代金といった文章題は、状況を式に翻訳する力が求められるため、計算練習だけを繰り返していても得点にはつながりません。

「連立方程式」で押さえるべきポイント

• 加減法の基本：2つの式を足すか引くかして、どちらかの文字を消去する方法。係数をそろえるために式全体を何倍かする手順を確実に押さえる
• 代入法の基本：一方の式を「x＝」または「y＝」の形に変形し、もう一方の式に代入して1つの文字だけの方程式にする方法。どちらの式が代入しやすい形かを見極める
• 解き方の使い分け：どちらかの式がすでに「x＝」「y＝」の形になっている場合は代入法、係数をそろえやすい場合は加減法を選ぶという判断基準を持つ
• かっこ・分数を含む式の処理：かっこがある式は先に展開し、分数を含む式は両辺を整数倍して分母を払ってから解くという前処理の手順を身につける
• 文章題の立式パターン：「代金と個数」「速さ・時間・道のり」「割合（増減）」など、代表的な文章題のパターンごとに、何をx・yと置くかのテンプレートを持っておく
• 検算の習慣：求めたx・yの値を、元の2つの式の両方に代入して成り立つかを確認する習慣をつける

自宅学習の具体的な手順・チェックリスト

連立方程式は「計算の型」を先に固め、その後「文章題の立式」に進むという順番で自宅学習を組み立てると定着しやすくなります。以下の順番で進めましょう。

ステップ	やること	チェックポイント
1. 加減法の基本問題を反復する	係数がそろっている問題、係数をそろえるために片方の式だけを何倍かする問題を順番に解く	符号のミスなく、どちらかの文字を消去できているか
2. 代入法の基本問題を反復する	「x＝」「y＝」の形になっている式を使って、もう一方の式に代入する問題を解く	代入した式のかっこを正しく展開できているか
3. かっこ・分数を含む式に挑戦する	かっこの展開や分母を払う処理が必要な、やや複雑な式の連立方程式を解く	前処理を終えてから加減法・代入法のどちらを使うか判断できているか
4. 文章題のパターンを分類する	「代金と個数」「速さ・時間・道のり」「割合」の3タイプについて、それぞれ1問ずつ「何をx・yと置くか」を書き出す	状況を整理してから式を立てる手順を踏めているか
5. 答えの検算を習慣化する	求めたx・yの値を2つの式それぞれに代入し、成り立つことを確認してから次の問題に進む	検算を面倒くさがらずに毎回行えているか

陥りやすい失敗パターンとリカバリー方法

失敗パターン	リカバリー方法
係数をそろえる際にかけ忘れる項があり、答えが合わない	式全体に数をかけるときは、すべての項（x の項・y の項・数の項）に同じ数をかけているかを一つずつ指で追いながら確認する練習に戻る
代入した式のかっこの展開でミスをする	代入した直後の式をいったん止めて、かっこの展開だけを別に書き出してから残りの計算を進める、という2段階に分けて解き直す
文章題で何をx・yと置けばよいか分からず、式が立てられない	問題文の中で「求めたいもの」に線を引き、それをそのままx・yと置くところから始める、というテンプレートで基本問題を解き直す
速さの文章題で単位（時間と分、kmとm）がそろっていない	式を立てる前に、問題文中の単位をすべて同じ単位にそろえてから立式する、という手順を先頭に固定して解き直す

編集部からのメッセージ

連立方程式は、加減法・代入法という2つの解き方を正しく使い分けられるようになれば、計算そのものは中1の一元一次方程式の延長線上にあります。つまずきの多くは「どちらの解き方を使うか迷う」「途中式でのケアレスミス」「文章題の立式で止まる」のいずれかに集約されるため、この記事のチェックリストに沿って一つずつ潰していけば、確実に得点力につながります。2学期の定期テストだけでなく、北辰テストや埼玉県公立入試でも連立方程式を利用した文章題は繰り返し出題される重要単元です。計算の型を早めに固め、余裕を持って文章題の練習時間を確保していきましょう。

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中学3年の社会（歴史）では、2学期に入ると江戸時代の学習を終え、「幕末〜明治維新」の単元に進む学校が多く見られます。ペリー来航から日米和親条約・日米修好通商条約による開国、大政奉還・王政復古の大号令を経た明治政府の誕生、そして版籍奉還・廃藩置県・地租改正・徴兵令・学制といった一連の改革まで、短期間に多くの出来事と制度改革が連続して登場するのがこの単元の特徴です。川越市・富士見市・ふじみ野市など東武東上線沿線の中学校でも、2学期最初の定期テストや北辰テストの社会科でこの範囲が出題されることが多く、埼玉県公立入試の社会でも、出来事の順序や制度の内容を正確に理解できているかが記述問題・並べ替え問題の得点を大きく左右します。用語を丸暗記するだけでなく、「なぜその改革が必要だったのか」という背景まで押さえておくことが重要です。

なぜ「幕末〜明治維新」でつまずきやすいのか

つまずきの原因は主に3つあります。1つ目は、出来事の数が非常に多く、しかも短期間に集中している点です。ペリー来航（1853年）から廃藩置県（1871年）までの約20年間に、開国・倒幕運動・戊辰戦争・新政府の樹立・諸改革が次々と起こるため、年号や出来事名を個別に覚えるだけでは、前後関係や因果関係を問う問題に対応できません。2つ目は、似た名称の条約・制度が混同されやすい点です。「日米和親条約」と「日米修好通商条約」、「版籍奉還」と「廃藩置県」、「地租改正」と「徴兵令」など、名称が似ていたり同じ時期の改革であったりするため、内容を正確に区別できていない生徒が目立ちます。3つ目は、「なぜその出来事・改革が起きたのか」という背景や目的を理解せず、用語の暗記だけで終えてしまう点です。明治政府がなぜ廃藩置県を行い、なぜ地租改正や徴兵令を実施したのかという目的（中央集権化・富国強兵）を理解しないまま進むと、記述問題や資料読み取り問題で得点できません。

「幕末〜明治維新」で押さえるべきポイント

• 開国の流れ：ペリー来航（1853年）→日米和親条約（1854年）→日米修好通商条約（1858年）という順序と、それぞれの条約の内容の違いを区別する
• 倒幕への流れ：尊王攘夷運動の高まりから、薩長同盟、大政奉還（1867年）、王政復古の大号令（1867年末）へと続く流れを整理する
• 戊辰戦争と新政府の成立：旧幕府側と新政府軍の戦いである戊辰戦争を経て、明治新政府による国づくりが始まったことを理解する
• 中央集権化の改革：版籍奉還（1869年）で藩主に土地と人民を返上させ、廃藩置県（1871年）で藩を廃止し県を置いたという2段階の流れを区別する
• 富国強兵を支えた3つの改革：地租改正（1873年・税制の変更）、徴兵令（1873年・国民皆兵）、学制（1872年・国民皆学）という、それぞれ目的の異なる改革の内容を整理する
• 四民平等と身分制度の変化：江戸時代の身分制度が廃止され、皇族・華族・士族・平民という新しい区分に変わったことを押さえる

自宅学習の具体的な手順・チェックリスト

幕末〜明治維新は、出来事の「順序」「内容」「目的」の3点を分けて整理すると定着しやすくなります。以下の順番で自宅学習を進めましょう。

ステップ	やること	チェックポイント
1. 年表を自分の手で作る	ペリー来航から廃藩置県までの主な出来事を、教科書を見ながら年号順に並べて年表にまとめる	出来事の名前だけでなく、簡単な内容も一言でメモできているか
2. 似た用語をペアで比較する	「日米和親条約と日米修好通商条約」「版籍奉還と廃藩置県」のように、混同しやすい用語をペアにして違いを表にする	それぞれの内容・年号・目的を区別して説明できるか
3. 改革の目的を言葉にする	地租改正・徴兵令・学制のそれぞれについて、「何のために行われたか」を自分の言葉で一文にまとめる	「富国強兵」「中央集権化」といったキーワードと結びつけられているか
4. 資料・図解を使って確認する	教科書や資料集の地図・図表（開国後の貿易港、藩から県への変化など）を見ながら、文章だけで覚えた内容と照らし合わせる	地図上の場所や図の流れと用語が一致しているか
5. 一問一答と記述問題の両方で確認する	用語を答える一問一答に加え、「廃藩置県が行われた理由を説明しなさい」のような記述問題にも取り組む	用語の暗記だけでなく、理由や流れを文章で説明できるか

陥りやすい失敗パターンとリカバリー方法

失敗パターン	リカバリー方法
出来事の順序があいまいで、並べ替え問題を間違える	自作の年表を見ずに口頭で順番を言えるようになるまで、年表作成と暗唱を繰り返す
日米和親条約と日米修好通商条約の内容を混同する	2つの条約を比較する表をもう一度見直し、「開港地の数」「貿易の有無」など違いが分かる項目だけを抜き出して覚え直す
版籍奉還と廃藩置県のどちらが先か分からなくなる	「まず土地と人民を返させ（版籍奉還）、その後に藩自体をなくした（廃藩置県）」という2段階の流れをイラストや矢印で図にして整理し直す
地租改正・徴兵令・学制の目的を答えられない	3つの改革をそれぞれ「税」「軍事」「教育」というキーワードに結びつけ、目的だけを短くまとめ直してから記述練習に戻る

編集部からのメッセージ

幕末〜明治維新は、出来事の数が多く一見複雑に見える単元ですが、「開国」「倒幕」「中央集権化」「富国強兵」という4つの流れに分けて整理すると、驚くほど理解しやすくなります。年表作りと用語の比較、そして改革の目的を自分の言葉で説明する練習を組み合わせることで、一問一答だけでは対応できない記述問題や資料読み取り問題にも強くなります。この単元は2学期の定期テストだけでなく、北辰テストや埼玉県公立入試の社会でも頻出範囲です。2学期の早い段階でしっかり土台を固め、この先に続く自由民権運動や日清・日露戦争の学習にもスムーズにつなげていきましょう。

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中学1年の英語では、1学期に学んだ be動詞・一般動詞・三人称単数現在形（He plays soccer. のような形）に続き、2学期に入ると「現在進行形」（is / am / are + ～ing）が新出文法として登場する学校が多く見られます。「今まさにしている動作」を表すこの文法は、日常英会話でも使う頻度が高い一方で、be動詞の使い分け、ing形の作り方、そして三人称単数現在形との使い分けなど、覚えるべきポイントが一気に増える単元です。川越市・富士見市・ふじみ野市など東武東上線沿線の中学校でも、2学期最初の単元テストで現在進行形が出題されることが多く、北辰テストや埼玉県公立入試の英語（学校選択問題・通常の学力検査問題いずれも）でも、動詞の形を正しく選べるかどうかが長文・英作文の土台になります。基礎のうちにあいまいさを残さず整理しておきましょう。

なぜ「現在進行形」でつまずきやすいのか

つまずきの原因は主に3つあります。1つ目は、主語に応じて am・is・are を正しく選べない点です。I am、He/She/It is、You/We/They are という基本の対応関係があいまいなまま、動詞の ing形だけに意識が向いてしまうケースが目立ちます。2つ目は、動詞を ing形にするときのルールの混同です。walk → walking のように語尾にそのまま ing をつける基本形に加え、make → making のように e を取って ing をつける形、run → running のように最後の子音字を重ねて ing をつける形があり、この3パターンを整理できていないとスペルミスが増えます。3つ目は、三人称単数現在形（He plays soccer. ＝ふだんの習慣的な動作）と現在進行形（He is playing soccer. ＝今している最中の動作）の意味の違いを理解せず、どちらの形を使うべきか判断できない点です。この2つの文法は見た目が似ているぶん、混同したまま次の単元に進んでしまう生徒が少なくありません。

「現在進行形」で押さえるべきポイント

• be動詞の使い分け：I am ～ing／He・She・It is ～ing／You・We・They are ～ing という主語とbe動詞の対応を先に確実にする
• ing形の基本ルール：多くの動詞はそのまま語尾に ing をつける（play → playing、read → reading）
• eをとってingをつける動詞：make → making、have → having、write → writing のように、eで終わる動詞はeを消してingをつける
• 子音を重ねてingをつける動詞：run → running、sit → sitting、swim → swimming のように、短い母音＋子音字で終わる動詞は子音字を重ねる
• 意味の違い：現在進行形は「今ちょうどしている動作」、三人称単数現在形などのふだんの形は「習慣的にしていること」を表す
• 疑問文・否定文の作り方：疑問文はbe動詞を主語の前に出す（Is he playing soccer?）、否定文はbe動詞のあとにnotを置く（He is not playing soccer.）

自宅学習の具体的な手順・チェックリスト

現在進行形は「be動詞の選択」「ing形の作り方」「意味の使い分け」の3点を分けて練習すると定着しやすくなります。以下の順番で自宅学習を進めましょう。

ステップ	やること	チェックポイント
1. be動詞の対応表を作る	I・You・He・She・It・We・They のそれぞれに対応するbe動詞（am・is・are）を自分で表にまとめる	迷わずすぐに答えられるようになっているか
2. ing形を3パターンに分けて練習する	教科書の単語リストから動詞を抜き出し、「そのままing」「eを取ってing」「子音を重ねてing」の3グループに分けて書き出す	スペルを見ながらでなく、自力で正しいing形を書けるか
3. 肯定文を作る練習をする	「主語＋be動詞＋動詞のing形」の型で、身近な動作（勉強している、テレビを見ているなど）を英文にしてみる	be動詞とing形の両方を同時に間違えていないか
4. 疑問文・否定文に書き換える	作った肯定文を、be動詞を前に出す疑問文、be動詞のあとにnotを入れる否定文にそれぞれ書き換える	doやdoesを使う一般動詞の疑問文・否定文と混同していないか
5. 三人称単数現在形と比較する	「He plays soccer every day.」と「He is playing soccer now.」のような文を並べ、意味の違いを自分の言葉で説明する	everyday・nowなどの目印となる語と結びつけて理解できているか

陥りやすい失敗パターンとリカバリー方法

失敗パターン	リカバリー方法
主語に関係なくisだけを使ってしまう（I is playing. など）	be動詞の対応表を毎回見ながら英文を書く練習に戻り、書けるようになったら表を見ずに練習する
ing形のスペルミスが多い（makeing、runing など）	3パターンの動詞グループをもう一度確認し、それぞれのグループだけを集めて書く練習を挟んでからまとめて練習し直す
三人称単数現在形と現在進行形をどちらも「s」や「ing」をつけて混ぜてしまう	「今している最中」＝現在進行形、「いつもしている」＝ふだんの形、という日本語の目印を文の横に書き添えて練習し直す
疑問文でDo/Doesを使ってしまう（Do he playing soccer? など）	現在進行形の疑問文はbe動詞を使うことを図で確認し、一般動詞の疑問文と並べて違いを整理する

編集部からのメッセージ

現在進行形は、日常の動作を英語で表現できるようになる楽しい単元ですが、be動詞の使い分けとing形のスペルルール、そして三人称単数現在形との意味の違いという、3つの要素を同時に整理する必要がある単元でもあります。焦って先に進むよりも、まずはbe動詞の対応表とing形の3パターンを確実に覚え、そのうえで疑問文・否定文、そして三人称単数現在形との比較へと段階的に進めていくことをおすすめします。2学期の早いうちにここを固めておくと、この先に続く過去進行形や未来表現の学習もスムーズになり、北辰テストや埼玉県公立入試の英語対策にもつながっていきます。

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